1^4+2^4+...+n^4怎么做啊？谢谢帮忙

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/14 04:03:58
麻烦告知具体推算过程，谢谢！！！

先做第一步：
1+2+3+……+n=n(n+1)/2 （这个不用证明了吧，应该会！）

第二步：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=?
过程如下：
∵(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
∴2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
4^3-3^3=3*3^2+3*3+1
......
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
把以上所有等式相加,可得:
(n+1)^3-1^3=3( 1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+4+5+6+.....+n)+n
∴n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3n(n+1)/2+n
整理即可得：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

第三步：
1^3+2^3+3^3+...+n^3=?
用同样的方式，
∵(n+1)^4-n^4=……
最终得到：1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

第四步，不用说了吧，一样的步骤，能够得到
1^4+2^4+3^4+...+n^4=(6n^5+15n^4+10n^3-n)/30

同理，你可以继续推导5次方、6次方、7次方……

1+2+3+...+n=n(n+1)/2
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
1³+2³+3³+...+n³=n²(n+1)²/4
1^4 + 2^4 + 3^4 +...+ n^4 = n(6n^4+15n³+10n²-1)/30

(1+N)*N/8